Inhoud
- stadia
- Om te beginnen
- Methode 1 Doorgaan met vallen en opstaan
- Methode 2 Doorgaan met ontleding
- Methode 3 Het "drievoudige spel"
- Methode 4 Verschil van twee vierkanten
- Methode 5 Met behulp van de kwadratische formule
- Methode 6 Een rekenmachine gebruiken
Een polynoom bestaat uit een variabele (x) verhoogd tot een bepaalde macht die de mate van de polynoom wordt genoemd, en verschillende andere termen van lagere graden en / of verschillende andere constanten. Om een polynoom van de tweede graad te factoriseren (die ook "kwadratische vergelijking" wordt genoemd) betekent dit dat de initiële uitdrukking wordt gereduceerd tot een product van uitdrukkingen van kleinere graden die vervolgens met elkaar kunnen worden vermenigvuldigd. Deze kennis maakt deel uit van de middelbare schoolcursus en meer, dus dit artikel kan moeilijk te begrijpen zijn als je nog niet het vereiste niveau van wiskunde hebt.
stadia
Om te beginnen
-
Schrijf je uitdrukking. De standaardvorm van een tweedegraadsvergelijking is:ax + bx + c = 0
Begin met het rangschikken van de termen van uw vergelijking volgens de volgorde van de machten, van de grootste tot de kleinste, zoals in de standaardvorm. Neem bijvoorbeeld:6 + 6x + 13x = 0
We zullen deze uitdrukking herschikken om het werk te vergemakkelijken door eenvoudig de voorwaarden te verplaatsen:6x + 13x + 6 = 0. -
Zoek het factorformulier op een van de onderstaande manieren. De factorisatie geeft twee kortere uitdrukkingen die de initiële polynoom geven als we ze met elkaar vermenigvuldigen:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
In dit voorbeeld zijn (2x +3) en (3x + 2) factoren van de eerste uitdrukking, 6x + 13x + 6. -
Controleer je werk! Vermenigvuldig de factoren die u hebt geïdentificeerd. Combineer vervolgens de vergelijkbare termen en je bent klaar. Begin met:(2x + 3) (3x + 2)
Laten we beginnen met het testen van deze uitdrukking door de termen van de twee uitdrukkingen te vermenigvuldigen om:6x + 4x + 9x + 6
Van daaruit kunnen we 4x en 9x toevoegen, omdat het termen van dezelfde graad zijn. We weten dan dat onze factoren correct zijn, omdat we goed vallen bij de uitdrukking van vertrek:6x + 13x + 6.
Methode 1 Doorgaan met vallen en opstaan
Als u te maken hebt met een vrij eenvoudige veelterm, zou u de ontleding ervan als factorproduct in één oogopslag moeten kunnen vinden. Veel wiskundigen kunnen die uitdrukking bijvoorbeeld zien 4x + 4x + 1 geeft de factoren (2x + 1) en (2x + 1) door gewoonte en met ervaring (dit is duidelijk niet zo eenvoudig in het geval van complexe polynomen). Laten we voor dit voorbeeld een minder gebruikelijke uitdrukking nemen:
.
-
Maak een lijst met coëfficiëntfactoren heeft en c. De uitdrukking van het formulier gebruiken ax + bx + c = 0, identificeer de coëfficiënten heeft en c en som de bijbehorende factoren op. Voor: 3x + 2x - 8, dit geeft:a = 3 en heeft slechts één paar factoren: 1 * 3 c = -8 en vier paar factoren: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 en -1 * 8 .. -
Schrijf op uw vel papier twee paar haakjes met ruimte om erin te schrijven. U voert de constanten voor elke uitdrukking in de daarvoor bestemde ruimte in:(x) (x). -
Schrijf vóór de x een paar mogelijke factoren voor de coëfficiënt heeft. Voor de coëfficiënt heeft in ons voorbeeld, 3x, is er slechts één mogelijkheid:(3x) (1x). -
Vul vervolgens de twee resterende lege ruimtes in met een paar factoren voor de coëfficiënt c. Neem bijvoorbeeld 8 en 1. Schrijf ze op:(3x8) (X1). -
Beslis nu het teken (meer of minder) om te plaatsen tussen de x en het nummer dat u achter hem hebt geplaatst. Volgens het teken van de oorspronkelijke uitdrukking, is het mogelijk om te vinden wat de tekens van de constanten zouden moeten zijn. telefoontje h en k de constanten van onze factoren:Als ax + bx + c dan (x + h) (x + k) Als ax - bx - c of ax + bx - c dan (x - h) (x + k) Als ax - bx + c dan (x - h) (x - k)
In ons voorbeeld, 3x + 2x - 8, moeten de tekens op de volgende manier worden geplaatst: (x - h) (x + k), wat ons de volgende twee factoren geeft:(3x + 8) en (x - 1). -
Controleer uw factorvorm door deze opnieuw te ontwikkelen. Een eerste snelle test is om te controleren of de middellange termijn de juiste waarde heeft. Als x niet goed is, hebt u mogelijk het verkeerde paar factoren voor de coëfficiënt gekozen c. Laten we onze resultaten bekijken:(3x + 8) (x - 1)
Door een vermenigvuldiging uit te voeren, krijgen we:3x - 3x + 8x - 8
Door de vergelijkbare termen (-3x) en (8x) toe te voegen om deze uitdrukking te vereenvoudigen, verkrijgen we:3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
We weten nu dat we waarschijnlijk de verkeerde factoren hebben geïdentificeerd:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8. -
Wissel indien nodig uw keuze van factoren uit. Laten we in ons voorbeeld 2 en 4 proberen in plaats van 1 en 8:(3x + 2) (x - 4)
Nu onze coëfficiënt c is -8, maar de vermenigvuldigingen (3x * -4) en (2 * x) geven -12x en 2x, die bovendien niet altijd de beginwaarde van bdat is + 2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x. -
Keer indien nodig de bestelling om. We keren in ons voorbeeld de plaats van 2 en 4 om:(3x + 4) (x - 2)
Nu de coëfficiënt c is altijd goed, maar de coëfficiënten van de termen in x zijn deze tijd -6x en 4x waard. Na toevoeging geeft dit:-6x + 4x = -2x 2x ≠ -2x We zijn heel dicht bij de initiële waarde van 2x die we proberen te vinden, maar het teken is niet goed. -
Controleer indien nodig de tekens opnieuw. We houden nu dezelfde volgorde aan, maar we wisselen de tekens uit:(3x - 4) (x + 2)
De coëfficiënt daarvoor c is altijd goed en de termen in x zijn nu de moeite waard (6x) en (-4x). Aangezien :6x - 4x = 2x 2x = 2x Dus we krijgen de 2x die we oorspronkelijk hadden. Dus we hebben waarschijnlijk de juiste factoren gevonden.
Methode 2 Doorgaan met ontleding
Met deze methode kunnen we alle mogelijke factoren identificeren om de coëfficiënten te verkrijgen heeft en c en gebruik ze om te bepalen welke factoren de juiste zijn. Als de getallen erg groot zijn of de andere trial and error-methoden te lang lijken, kunt u deze methode gebruiken. Neem het volgende voorbeeld:
.
-
Vermenigvuldig de coëfficiënt heeft door de coëfficiënt c. In ons voorbeeld heeft is gelijk aan 6 en c is ook gelijk aan 6.6 * 6 = 36. -
Vind de coëfficiënt b door factoring en vervolgens testen van de verkregen factoren. We zijn op zoek naar twee getallen die factoren van het product zijn heeft * c die we hebben geïdentificeerd en waarvan de som de waarde van de coëfficiënt "b" waard is (13).4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
Voer de twee getallen die u zojuist in uw vergelijking hebt gekregen in; plaats ze voor de x, zodat hun som gelijk is aan de coëfficiënt b. Laten we de letters nemen k en h om de twee verkregen nummers te vertegenwoordigen, 4 en 9:bijl + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6. -
Factoreer je polynoom door te groeperen. Organiseer de vergelijking om de grootste gemeenschappelijke factor van de eerste twee termen en de grootste gemeenschappelijke factor van de laatste twee termen te vinden. U zou dan een som van twee identieke, factored vormen moeten krijgen. Tel de twee coëfficiënten bij elkaar op en zet ze tussen haakjes voor je gefabriceerde vorm; u krijgt dan uw twee factoren:6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2).
Methode 3 Het "drievoudige spel"
Deze methode lijkt erg op de vorige. Dit bestaat uit het onderzoeken van de mogelijke factoren voor de producten van de coëfficiënten heeft en cen gebruik ze vervolgens om de waarde van te vinden b. Neem bijvoorbeeld de volgende vergelijking:
-
Vermenigvuldig de coëfficiënt heeft door de coëfficiënt c. Net als bij de ontledingsmethode, helpt dit ons potentiële kandidaten voor de coëfficiënt te identificeren b. In ons voorbeeld heeft is gelijk aan 8 en c is 2 waard.8 * 2 = 16. -
Zoek de twee getallen waarvan het product het getal is dat eerder is gevonden (16) en waarvan de som de coëfficiënt "b" geeft. Deze stap is identiek aan die van de ontledingsmethode - dat wil zeggen dat we kandidaten voor constanten testen en afwijzen. Het product van de coëfficiënten heeft en c is gelijk aan 16 en de coëfficiënt c is gelijk aan 10:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
Neem deze twee nummers en vervang ze in de "triple play" -formule. Neem de twee nummers van de vorige stap - laten we ze bellen h en k - en introduceer ze in de volgende uitdrukking:((ax + h) (ax + k)) / a
We krijgen dan:((8x + 8) (8x + 2)) / 8. -
Zoek uit welke van de haakjesuitdrukkingen in de teller deelbaar is door de coëfficiënt heeft. In dit voorbeeld testen we of (8x + 8) of (8x + 2) kan worden gedeeld door 8. (8x + 8) deelbaar is door 8, dan delen we deze uitdrukking door heeft en laat de andere uitdrukking zoals die is.(8x + 8) = 8 (x + 1)
De uitdrukking die we hier houden, is de uitdrukking die overblijft na deling door de coëfficiënt heeft : (x + 1). -
Zoek - als er een is - een grotere gemeenschappelijke factor tussen beide haakjes. In ons voorbeeld heeft de tweede uitdrukking een grotere gemeenschappelijke factor 2, omdat 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combineer dit antwoord met de uitdrukking die je in de vorige stap hebt gevonden. Je hebt dus de twee factoren van je polynoom gevonden.2 (x + 1) (4x + 1).
Methode 4 Verschil van twee vierkanten
Sommige coëfficiënten van de polynomen kunnen worden geïdentificeerd als "vierkanten", dat wil zeggen als de producten van de vermenigvuldiging van twee getallen. Door deze vierkanten te identificeren, kunt u sommige polynomen veel sneller factor. Neem bijvoorbeeld de vergelijking:
-
Begin met alles in een grotere gemeenschappelijke factor op te nemen als het mogelijk is. In ons voorbeeld zien we 27 en 12, die beide deelbaar zijn door 3, dus we kunnen de initiële uitdrukking als volgt "barsten":27x - 12 = 3 (9x - 4). -
Bepaal of de coëfficiënten van uw vergelijking vierkante getallen zijn. Als u deze methode wilt gebruiken, moet u vierkantswortels voor uw coëfficiënten kunnen vinden (houd er rekening mee dat we geen negatieve tekens overwegen - omdat we te maken hebben met vierkanten, kunnen ze het product zijn van twee positieve getallen negatief)9x = 3x * 3x en 4 = 2 * 2. -
Gebruik je vierkantswortels die je hebt gevonden en schrijf je factoren op. Neem de waarden van heeft en c eerder gevonden - heeft = 9 en c = 4 - voordat ze hun vierkantswortel vinden - √heeft = 3 en √c = 2. Dit zijn de coëfficiënten van onze gefabriceerde uitdrukkingen:27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Methode 5 Met behulp van de kwadratische formule
Als alle bovenstaande methoden hebben gefaald en u de juiste factoren voor uw vergelijking niet kunt vinden, gebruikt u de kwadratische formule. Neem het volgende voorbeeld:
-
Neem de waarden van de coëfficiënten "a", "b" en "c" en vervang ze in de volgende kwadratische formule:x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
We krijgen dan de uitdrukking:x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2. -
Los de vergelijking op om x te vinden. Zoals je hierboven kunt zien, zou je twee waarden van x moeten krijgen:
x = -2 + √ (3) of x = -2 - √ (3). -
Gebruik de waarde van x om de factoren te vinden. Voer de eerder verkregen waarden van x in als constanten van de twee veeltermuitdrukkingen. Dit zullen jouw factoren zijn. telefoontje h en k de waarden van x en schrijf de twee factorvormen:(x - h) (x - k)
In dit geval is het eindresultaat:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).
Methode 6 Een rekenmachine gebruiken
Als u een grafische rekenmachine mag gebruiken, houd er dan rekening mee dat dit uw taak aanzienlijk zal vergemakkelijken, vooral tijdens examens. Deze instructies zijn alleen geldig voor grafische rekenmachines van het merk Texas Instrument. Neem bijvoorbeeld de volgende vergelijking:
-
Voer uw vergelijking in de calculator in. U moet de "resolververgelijking" gebruiken, dat wil zeggen het scherm. -
Maak een grafische weergave van uw vergelijking op de calculator. Nadat u de vergelijking hebt ingevoerd, drukt u op - u zou dan de grafische weergave van de curve moeten zien verschijnen (meer precies, u krijgt een "boog" omdat u aan polynomen werkt). -
Zoek de snijpunten van de boog met de x-as (x). Aangezien polynoomvergelijkingen traditioneel worden geschreven in de vorm: ax + bx + c = 0, zijn dit de twee waarden van x waarvoor de uitdrukking gelijk is aan nul:(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2. - Als u de waarden niet kunt lezen van waar uw curve de x-as kruist, drukt u op en vervolgens op. Druk op of selecteer "nul". Verplaats de cursor links van een van de kruispunten en druk op. Verplaats vervolgens de cursor naar rechts van dit kruispunt en druk opnieuw. Verplaats vervolgens de cursor zo dicht mogelijk bij het kruispunt en druk opnieuw. De calculator zal de waarde van x vinden. Doe hetzelfde voor het andere kruispunt.
-
Voer ten slotte de x-waarden uit de vorige stap in een tweefactorenuitdrukking in. Als we bellen h en k onze twee waarden van x, zullen we dan de volgende uitdrukking gebruiken:(x - h) (x - k) = 0
En dus zullen we de volgende twee factoren krijgen:(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
- Een potlood
- papier
- Een tweedegraadsvergelijking (of kwadratische vergelijking)
- Een grafische rekenmachine (optioneel)