Kennis

Hoe een trinomiaal te factoreren

Posted on
Schrijver: Monica Porter
Datum Van Creatie: 16 Maart 2021
Updatedatum: 1 Juli- 2024
Anonim
Ontbinden in factoren - Hoe werkt de product-som-methode? (havo/vwo 2) - WiskundeAcademie
Video: Ontbinden in factoren - Hoe werkt de product-som-methode? (havo/vwo 2) - WiskundeAcademie

Inhoud

In dit artikel: Leren x2 + bx + te factoriseren Leer meer gecompliceerde trinomials te factoriseren Enkele speciale gevallen van trinomiale factorisaties6

Zoals de naam al aangeeft, is een trinomiaal een wiskundige uitdrukking in de vorm van een som van drie termen. Meestal beginnen we de trinomials van de tweede graad te bestuderen die aldus onderschrijven: ax + bx + c. Er zijn verschillende manieren om een ​​trinomiaal van de tweede graad te factoriseren. Met wat oefening kom je er zonder moeite. De methoden die we gaan zien, zijn niet van toepassing op de trinomials van een hogere graad (met x of x). Door deze laatste trinomials te bewerken, kan men echter terugvallen op trinomials van de tweede graad. We zien dit allemaal in detail.


stadia

Deel 1 Leren om x + bx + c te factoriseren



  1. Gebruik de SIDS-methode. Je weet het misschien, maar laten we onthouden waar het allemaal om draait. Wanneer u een product van binomials moet ontwikkelen - (x + 2) (x + 4), bijvoorbeeld - moet u de producten van de verschillende termen samenvatten in de volgorde "First, External, Internal, Last". In detail geeft dit:
    • vermenigvuldigen eerste voorwaarden tussen hen:X+2)(X+4) = X + __
    • vermenigvuldig de voorwaarden extern tussen hen: (X2) (x +4) = x + 4x + __
    • vermenigvuldig de voorwaarden intern tussen hen: (x +2)(X+4) = x + 4x + 2x + __
    • vermenigvuldigen laatst termen tussen hen: (x +2) (X +4) = x + 4x + 2x + 8
    • Sluit af met vereenvoudiging: x + 4x + 2x + 8 = x + 6x + 8




  2. Begrijp wat factorisatie is. Wanneer u het product van twee paren ontwikkelt, krijgt u een trinomiaal van de vorm: heeftx +bx +c, a, b en c zijn reële getallen. Wanneer we de omgekeerde bewerking uitvoeren, gaan van het trinomiaal naar het binomiaal product, zeggen we dat we factorises.
    • Voor de duidelijkheid moeten de voorwaarden van een trinomiaal worden gerangschikt in volgorde van afnemende kracht. Dus, als we je geven: 3x - 10 + x, moet je herschrijven om: x + 3x - 10.
    • De grootste exponent is 2 (x), we spreken van de "tweedegraads" trinomiaal.



  3. Aan het begin van de factorisatie zetten we de productvorm van binomials. Schrijf: (__ __)(__ __). We vullen geleidelijk de opengelaten ruimtes op, evenals de tekens.
    • Op dit moment plaatsen we geen teken (+ of -) tussen de twee termen van de binomials.




  4. U moet beginnen met het vinden van de eerste voorwaarden van elk paar. Als uw trinomiaal met x begint, zijn de eerste twee termen van de paren noodzakelijkerwijs X en Xsinds x maal x = x.
    • Ons beginnend trinomiaal wezen: x + 3x - 10 en aangezien er geen coëfficiënt is bij x, kunnen we meteen schrijven:
    • (x __) (x __)
    • We zullen later zien hoe men verder gaat wanneer de coëfficiënt van x verschilt van 1, zoals 6x of -x. Voorlopig blijven we zitten met dit eenvoudige geval.



  5. Probeer te raden wat de laatste voorwaarden van de paren zullen zijn. Bekijk hoe, met de PEID-methode, de laatste voorwaarden van de binomials zijn ontwikkeld. We moeten nu het tegenovergestelde doen. We vermenigvuldigden vervolgens de laatste twee termen om de laatste term ("constante") van het trinomiaal te verkrijgen. Je zult dus twee getallen moeten vinden die, vermenigvuldigd tussen hen, je de constante van het trinomiaal zullen geven.
    • In ons voorbeeld: x + 3x - 10 is de constante -10.
    • Wat zijn de factoren van -10? Wat zijn de twee getallen die, vermenigvuldigd daartussen, je -10 geven?
    • Hier zijn alle mogelijke gevallen: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 en 2 x -5. Schrijf deze combinaties ergens voor u om te onthouden.
    • Voor nu blijft uw binomiaal product ongewijzigd. Hij ziet er altijd uit als: (x __) (x __).



  6. Test de verschillende combinaties. Van de constante, bent u erin geslaagd om enkele combinaties van factoren te identificeren, die men moet werken (als de trinomiaal reduceerbaar is). Op dit moment zijn er geen andere oplossingen dan om elke combinatie te testen om te zien of een ervan voldoet aan het trinomiaal. Bijvoorbeeld:
    • In ons voorbeeld moet de som van het product "Extern" en het product "Intern" 3x zijn (genomen van x + 3x - 1)
    • Neem de combinatie van -1 en 10: (x - 1) (x + 10). De som van het product "External" en het product "Internal" geeft: 10x - x = 9x. Het werkt niet!
    • Neem de combinatie 1 en -10: (x + 1) (x - 10). De som van het product "External" en het product "Internal" geeft: -10x + x = -9x. Het gaat nog steeds niet! U zult terloops opmerken dat deze laatste controle nutteloos was. Inderdaad, het paar (-1.10) geeft 9x en het paar (1, -10) geeft -9x. Test dus maar een paar.
    • Neem de combinatie -2 en 5: (x - 2) (x + 5). De som van het product "Extern" en het product "Intern" geeft: 5x - 2x = 3x. Eureka! Het antwoord is: (x - 2) (x + 5).
    • In het geval van trinomials zo eenvoudig als deze (beginnend met x), kunnen we korter doen. Voeg gewoon de twee potentiële factoren toe, voeg aan het einde "x" toe en je ziet meteen of het de juiste combinatie is. Daar doe je: -2 + 5 → 3x. Als x wordt geflankeerd door een coëfficiënt, werkt de methode niet, daarom is het goed om de gedetailleerde methode te onthouden.

Deel 2 Leren om meer gecompliceerde trinomials te factoreren



  1. Factor uw trinomiaal in een eenvoudiger trinomiaal. Stel dat u het volgende trinomiaal moet factoriseren: 3x + 9x - 30. Probeer te zien of er geen deler is die alle drie de termen gemeen hebben. We nemen dan de grootste (als er meerdere zijn), waarvan de naam "Most Great Common Divisor" (of PGCD) is. In ons trinomiaal wordt het 3. Laten we dit in detail bekijken:
    • 3x = (3) (x)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3)(-10)
    • Dus 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x - 10). Daarom is het gemakkelijk om de tweede haakjes te factureren volgens de hierboven beschreven methode. We verkrijgen als volgt: (3) (x-2) (x + 5). We moeten het niet vergeten 3 in factor gebracht.



  2. Soms kunnen we geen reële getallen factor, maar hoeveelheden met onbekenden. We kunnen dus rekening houden met "x", "y" of "xy". Hier zijn enkele voorbeelden:
    • 2xy + 14xy + 24y = (2y)(x + 7x + 12)
    • x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)
    • -x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)
    • Vervolgens factor, natuurlijk, de nieuwe trinomiaal zoals we eerder zagen. Controleer of er geen fouten zijn. Oefen met de oefeningen die aan het einde van dit artikel worden voorgesteld.



  3. Probeer trinomials te ontbinden met een x geflankeerd door een coëfficiënt. Sommige trinomials van de tweede graad zijn moeilijker te factoriseren, het beeld van 3x + 10x + 8. We zullen zien hoe we verder gaan, dan wat u kunt trainen met de voorgestelde oefeningen aan het einde van het artikel. Dit is hoe we werken:
    • Vraag het product van paren: (__ __)(__ __)
    • Elk van de twee "Eerste" termen moet een "x" hebben en het product van beide moet 3x zijn. Er is maar één mogelijkheid: (3x __) (x __), Waarbij 3 een priemgetal is.
    • Zoek de factoren van 8. Er zijn twee mogelijkheden: 1 x 8 of 2 x 4.
    • Neem deze combinaties om de constanten van de paren te vinden. Belangrijk punt: omdat de onbekende "x" verschillende coëfficiënten heeft, is de volgorde van de combinatie belangrijk. Je moet het einde van het midden vinden, hier, 10x. Hier zijn de verschillende combinaties:
    • (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x Neen !
    • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x Neen !
    • (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x Neen !
    • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x ja! Dit is de juiste factorisatie.



  4. In de aanwezigheid van een onbekende met een macht groter dan 2, kan men een onbekende vervanging maken. Op een dag zul je zeker een trinomiaal van de vierde (x) of de vijfde graad (x) moeten factoriseren. Het doel is om dit trinomiaal terug te brengen naar iets dat bekend is, dat wil zeggen een trinomiaal van de tweede graad om probleemloos te ontbinden. Bijvoorbeeld:
    • x + 13x + 36x
    • = (x) (x + 13x + 36)
    • Bedenk een nieuwe onbekende die het probleem zal vereenvoudigen. We zullen hier stellen dat Y = x. We plaatsen een hoofdletter Y om te onthouden dat het een surrogaat is. Het trinomiaal wordt dan:
    • = (x) (Y + 13Y + 36): we ontbinden in factoren zoals in deel 1.
    • = (x) (Y + 9) (Y + 4). Het is tijd om de onbekende vervanging te vervangen door de werkelijke waarde:
    • = (x) (x + 9) (x + 4)
    • = (x) (x + 3) (x - 3) (x + 2) (x - 2)

Deel 3 Enkele speciale gevallen van trinomialisaties



  1. Zoek naar mogelijke priemgetallen. Kijk of de constante en / of de coëfficiënt van de eerste of derde term geen priemgetallen zouden zijn. Bedenk dat een getal 'priem' is als het alleen deelbaar is door 1 of zichzelf. Uitgaande van deze definitie, als we een priemgetal vinden op de hierboven aangegeven plaatsen, kan het trinomiaal alleen factor zijn in de vorm van een enkel product van binomials.
    • Bijvoorbeeld in x + 6x + 5, de constante 5 is een priemgetal, dus het binomiale product heeft de vorm: (__ 5) (__ 1)
    • In 3x + 10x + 8, de coëfficiënt 3 is een priemgetal, dus het product van binomials heeft de vorm: (3x __) (x __).
    • Ten slotte, in 3x + 4x + 1, 3 en 1 zijnde priemgetallen, is de enige mogelijke oplossing: (3x + 1) (x + 1). Controleer echter altijd de combinatie. Het komt voor dat sommige trinomials niet in aanmerking kunnen worden genomen. Dus kan 3x + 100x + 1 niet worden meegenomen (we zeggen dat het "onherleidbaar" is). Met 3 en 1 krijgt u nooit 100.



  2. Men moet altijd denken aan het geval van een trinomiaal dat de ontwikkeling van een opmerkelijke identiteit zou zijn, een perfect vierkant om alleen dit voorbeeld te nemen. Met perfect vierkant bedoelen we het product van twee perfect identieke paren: (x + 1) (x + 1) die we schrijven (x + 1). Hier zijn enkele van deze perfecte vierkanten:
    • x + 2x + 1 = (x + 1) en x - 2x + 1 = (x - 1)
    • x + 4x + 4 = (x + 2) en x - 4x + 4 = (x - 2)
    • x + 6x + 9 = (x + 3) en x - 6x + 9 = (x - 3)
    • Een trinomiaal heeftx + bx + c is de ontwikkeling van een perfect vierkant als heeft en c zijn zelf positieve vierkanten (zoals 1, 4, 9, 16, 25 ...) en als b (positief of negatief) is gelijk aan 2 (√a x √c) = 2 √ac.



  3. Kijk of het mogelijk is om te ontbinden. Inderdaad, iI is trinomiaal waar geen rekening mee kan worden gehouden. Als je moeite hebt om een ​​trinomiaal van de tweede canonieke vorm ax + bx + c te factoriseren, omdat er geen duidelijke wortels zijn, moet je de discriminant (Δ) -methode gebruiken. Dit laatste wordt als volgt berekend: Δ = √b - 4ac. Als A <0, kan het trinomiaal niet worden meegenomen.
    • Gebruik voor trinomials die geen tweedegraads zijn het Eisenstein-criterium dat wordt uitgelegd in de sectie 'Tips'.